今天，我们要尝试解决这道八年级数学奥林匹克竞赛题。如果你想增加难度，可以尝试在一分钟内解出来。

问题就在这里……

我们需要在 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/[n(n+1)] = 1999/2000 中找到 n。图片由作者提供。

在这个问题中，我们得到了以下序列

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/[n(n+1)] = 1999/2000

题目要求我们求n的值。现在，在你向下滚动查看答案之前，我建议你拿支笔和一张纸，自己尝试解答一下！

找到规律并没有你想象的那么难 :)

解决方案

你找到答案了吗？答案就在这里……

在这个问题中，分母是数列中出现规律的地方。

1/2 就是 1/(1×2)，1/6 就是 1/(2×3)，1/12 就是 1/(3×4)，1/20 就是 1/(4×5)。

所以规律是1/(n(n+1))

现在，这个模式实际上可以进一步简化，开云从而更容易解决这个问题。

1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)

所以，与其将总和看作许多分数，我们可以将其看作这个新的序列。

(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1))

这被称为伸缩级数。这是一种很多项相互抵消的级数。

在这个系列中，中间的所有元素都相互抵消了。

(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1)),

−1/2 抵消 +1/2，−1/3 抵消 +1/3，−1/4 抵消 +1/4，依此类推。

因此，左侧全部简化为 1 − 1/(n+1)

现在问题变得简单多了，1 − 1/(n+1) = 1999/2000

这正好是 1/(n+1) = 1/2000

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所以 n + 1 = 2000，因此 n = 1999。

所以最终答案是 n = 1999。你算出来了吗？如果算出来了，请在评论区告诉我哦 :D

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